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Firefoxでも同様の状況をテストすることが可能です。about:config にて network.cookie.sameSite.laxByDefault=true にして試してください。
IdPのテストは上記のように設定を変更したブラウザで各SPへのログインを試みることが必要かと思われます。
SPのテストはIdPによるログインはもちろん、通常のサービス利用に問題がないかを確認、特にクロスサイトで情報を受け渡す仕組みがあればそれについて問題なく動作することを確認していただく必要があるかと思われます。
また、Shibboleth SPの1点目（RelayState）の問題が存在するかどうかについては、shibboleth2.xmlにrelayState="cookie"（文字列の末尾に":数字"が追加されている場合もあります）が含まれるかを確認するほか、SP→IdPもしくは逆の遷移時のRelayStateパラメーターに"cookie"の文字列が含まれるかどうかで確認することも可能です。
テスト時の注意点:
Chromeの場合はテスト時に限りませんがcookie設定後2分間は従来の挙動を示す（クロスサイトのPOSTでもcookieが送信される）との情報があります。テストの際には操作ごとの間隔を空けて実施するようにしてください。Firefoxにはそのような制約はありません。
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